浅谈计数方法容斥原理

2018吉林省考数量备考：浅谈计数方法——容斥原理
　 在行测中总有一类问题作为考试要点——计数问题，而计数的考查方式又很多，比如：枚举数数、排列组合、边端计数、容斥原理等等，不管是以哪种方式考查：这种计数的考查核心一定是：无一重复，无一遗漏。我们在学习一些方法解决计数问题的时候也是秉承着一种思想不重不漏。
　　(一)概念介绍
　为了问题中已经重叠的部分不再被重复计算，就有了一种计数方法：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理(或者排容原理)。
　　(二)容斥原理的分类
　　一般情况下，对容斥原理问题的考查集中在两类：两个事物之间的容斥与三个事物之间的容斥。
　　①　两集合容斥原理
　　如果现有A、B两类计数事物，那么：AB类元素之和=A类元素个数+B类元素个数—既属于A类又属于B类的个数。当然，如果总数中还存在既不属于A类又不属于B类的事物，那么这个式子调整为：满足A+满足B—都满足=总数—都不满足;这称为两集合的容斥原理基本公式。即： 。
　　【例1】某高校大学生数学建模竞赛协会共有240名会员，今欲调查参加过竞赛和省级竞赛的会员人数，发现每个会员至少参加过一个级别的竞赛。调查结果显示：有 的会员参加过竞赛，有 的会员两个级别的竞赛都参加过。问参加过省级竞赛的会员人数是( )。
　　A.160 B.120
　　C.100 D.140
　　【答案】A
　　【解析】依据两集合容斥原理基本公式：A+B-AB都满足=总数-AB都不满足。参加竞赛人数为240× =140，参加两个级别竞赛的人数是240× =60，两者都不满足的人数为0，所以可得140+x-60=240，得出x=160，因此，本题选项为A。
　　②　三集合容斥原理
　　概念与两集合是类似的，只是多了第三个事物C类，去掉重复的部分不一样那么所使用的公式也不一样，三集合的基本公式如下：
　　v 公式一： v 公式二： 【例2】某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：
　　A. 7人 B. 8人
　　C. 5人 D. 6人
　　【答案】A
　　【解析】典型的三集合标准型容斥原理问题，依据公式直接求解即可。设同时报乙、丙职位的人数为x人，那么根据公式得到方程：42—0=22+16+25-8-6-x+0，得到x=7，因此，本题选项为A。
　　注：将公式中的每一项在题干中找对应位置即可。
　　【例3】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷?( )
　　A.310 B. 360
　　C.390 D. 410
　　【答案】D
　　【解析】典型三集合容斥原理公式的直接应用，仅仅满足两个条件的人数已知，所以该题采用的一定是三集合的第二个公式，设回收的调查问卷一共有x份，依据公式得到方程：
　　179+146+246—24—2×115=x—52，得到x=369。再根据问卷的回收率为90%得到：问卷数量为369÷90%=410。因此，本题选项为D。
　　以上给出的都是能够直接利用两集合或者三集合公式解决的题目，而考试中的题目不仅仅只有这些，不能用公式求解的情况下，我们需要回归到本质中，可以采用图示法进行求解，下面一例题的形式介绍：
　　【例1】工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报名参加的为只报名参加周日活动的人数的50%，问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的?
　　A.20% B.30%
　　C.40% D.50%
　　【答案】C
　　【解析】题干中没有给定具体的实际数值，该题考虑赋值法，同时参加周六日活动的人数为1，则其他部分可以用下面的图形表示：
　　未报名参加活动的人数为2，占只参加周六活动的比例为40%。因此，本题答案选择C选项。
　　注：以上是两集合的问题，相对比较简单。
　　【例2】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有多少人( )
　　A.4人 B.5人
　　C.6人 D.7人
　　【答案】B
　　【解析】三集合图示法。根据题干我们可以砸下面图中标出每一个区域表示的数据，注意要从中心处标起，那么如果只能教法语的老师人数x人，可以得到方程：8+2+3+2+6+1+x=27，得到x=5，因此，本题答案选择B选项。
　　注意(1)标数时，切记由内向外标数;
　　(2)图中每个区域都有自己的含义;
　　(3)区分“满足某条件”和“仅满足某条件”的不同之处。
　　考试中对于容斥原理的考查不管怎么考查，万变不离其宗，抓住它的本质——去重复是解决题目的关键，希望对大家有所帮助。